3つのサイコロを振ったときに、いずれか2つのサイコロの目の合計が5になる確率を求める問題について詳しく説明しています。
3個のサイコロのうちいずれか2個のサイコロの目の和が5になる確率を求めよ。
確率の計算方法
まず、確率の基本的な考え方を確認します。確率は、特定の事象が起こる可能性を数値で表したものです。特定の事象が起こる確率は、以下の式で計算できます。
確率 = (特定の事象が起こる場合の数) / (起こりうるすべての事象の数)
今回の問題では、「いずれか 2 つのサイコロの目の合計が 5 になる」という特定の事象が起こる確率を求める必要があります。
起こりうるすべての事象の数
3 つのサイコロを振ったときに起こりうるすべての事象の数は、それぞれのサイコロが 1 から 6 までの 6 つの目を取りうることから、6 × 6 × 6 = 216 通りとなります。
特定の事象が起こる場合の数
次に、「いずれか 2 つのサイコロの目の合計が 5 になる」という特定の事象が起こる場合の数を計算します。このとき、以下の 2 つの場合に分けられます。
- 3 つのサイコロの出目がすべて異なる場合
- 同じ出目が含まれる場合
3 つの出目がすべて異なる場合
- どの 2 つのサイコロを選ぶか: 3 つのサイコロから 2 つを選ぶ組み合わせは、?C? = 3 通りです。
- 和が 5 になる 2 つの目の組み合わせ: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) の 4 通りです。
- 残りの 1 つのサイコロの出目: 残りの 1 つのサイコロの出目は、既に選ばれた 2 つの目以外の 4 つの目から選ぶことができます。
したがって、3 つの出目がすべて異なる場合は、3 × 4 × 4 = 48 通りとなります。
同じ出目が含まれる場合
- 3 つのサイコロの目がすべて同じ場合: この場合は、和が 5 になる組み合わせは存在しません。
- 2 つのサイコロの目が同じで、残りの 1 つのサイコロの目が異なる場合: この場合、サイコロの出目の組み合わせは、(a, a, b), (a, b, a), (b, a, a) のように表すことができます。ここで、a と b は異なる目であり、a + b = 5 を満たします。
- a と b の組み合わせ: 和が 5 になる a と b の組み合わせは、(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) の 4 通りです。
- サイコロの出目の順序: (a, a, b), (a, b, a), (b, a, a) の 3 通りです。
したがって、同じ出目が含まれる場合は、3 × 4 = 12 通りとなります。
求める確率
以上より、「いずれか 2 つのサイコロの目の合計が 5 になる」という事象が起こる場合の数は、48 + 12 = 60 通りです。
したがって、求める確率は、60 / 216 = 5/18 となります。
3 つのサイコロを振ったときに、いずれか 2 つのサイコロの目の合計が 5 になる確率を求める問題の間違えやすいポイントについて、ソースを参考に説明します。
間違えやすいポイント
- 3 つの出目がすべて異なる場合の残りのサイコロの出目の数え上げ： 3 つの出目がすべて異なる場合、和が 5 になる 2 つのサイコロの目を選ぶと、残りのサイコロの出目は、既に選ばれた 2 つの目以外の 4 通りとなります。 6 通りすべてと考えてしまうのは誤りです。
- 同じ出目が含まれる場合の組み合わせの数え上げ： 同じ出目が含まれる場合、(a, a, b), (a, b, a), (b, a, a) のように、サイコロの出目の順序も考慮する必要があります。 a と b の組み合わせだけを考えて 4 通りとしてしまうのは誤りです。
正しい考え方
確率を求めるには、以下の手順を踏む必要があります。
- 起こりうるすべての事象の数を求める: 3 つのサイコロを振ったときに起こりうるすべての事象の数は、6 × 6 × 6 = 216 通りです。
- 特定の事象が起こる場合の数を、場合分けして数え上げる:
- 3 つの出目がすべて異なる場合: ?C? × 4 × 4 = 48 通り
- 同じ出目が含まれる場合: 3 × 4 = 12 通り
- 求める確率を計算する: (48 + 12) / 216 = 5/18
上記の間違えやすいポイントを踏まえ、正しく場合分けして数え上げることが重要です。
類問の例｜3個のサイコロのうちいずれか2個のサイコロの目の和が5になる確率を求めよ。
問題
4 つのサイコロを振ったときに、少なくとも 2 つのサイコロの目の合計が 7 になる確率を求めよ。
解答
この問題は、与えられたソースの問題と似ていますが、サイコロの数が 3 つから 4 つに増え、「いずれか 2 つ」から「少なくとも 2 つ」に条件が変わっています。また、合計の目が 5 から 7 に変更されています。
1. 起こりうるすべての事象の数
4 つのサイコロの出目の組み合わせは、それぞれのサイコロが 1 から 6 までの 6 つの目を取りうるので、全部で 6 × 6 × 6 × 6 = 1296 通りあります。
2. 条件を満たす場合分け
「少なくとも 2 つのサイコロの目の合計が 7 になる」という条件を満たすには、以下の 3 つのケースが考えられます。
- ちょうど 2 つのサイコロの目の合計が 7 になる場合
- ちょうど 3 つのサイコロの目の合計が 7 になる場合
- 4 つのサイコロのうち 2 つのペアがそれぞれ合計 7 になる場合
3. それぞれの場合を考える
(a) ちょうど 2 つのサイコロの目の合計が 7 になる場合
- 合計が 7 になる 2 つのサイコロの選び方: 4 つのサイコロから 2 つを選ぶ組み合わせは、?C? = 6 通りです。
- 和が 7 になる 2 つの目の組み合わせ: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) の 6 通りです。
- 残りの 2 つのサイコロの出目: 残りの 2 つのサイコロは、それぞれ 1 から 6 までの 6 通りの目を取り得ますが、既に選ばれた 2 つのサイコロと同じ目になってはいけません。そのため、それぞれのサイコロの出目の選択肢は 5 通りになります。
したがって、ちょうど 2 つのサイコロの目の合計が 7 になる場合は、6 × 6 × 5 × 5 = 900 通りとなります。
(b) ちょうど 3 つのサイコロの目の合計が 7 になる場合
このケースは、3 つのサイコロの目の合計が 7 になり、残りの 1 つのサイコロの目は任意になる場合です。
- 合計が 7 になる 3 つのサイコロの選び方: 4 つのサイコロから 3 つを選ぶ組み合わせは、?C? = 4 通りです。
- 和が 7 になる 3 つの目の組み合わせ:
- (1, 1, 5) の順列：3!/2! = 3 通り
- (1, 2, 4) の順列：3! = 6 通り
- (1, 3, 3) の順列：3!/2! = 3 通り
- (2, 2, 3) の順列：3!/2! = 3 通り
合計 15 通り
- 残りの 1 つのサイコロの出目: 残りの 1 つのサイコロの出目は 1 から 6 までの 6 通りです。
したがって、ちょうど 3 つのサイコロの目の合計が 7 になる場合は、4 × 15 × 6 = 360 通りとなります。
(c) 4 つのサイコロのうち 2 つのペアがそれぞれ合計 7 になる場合
- 2 つのペアの選び方: 4 つのサイコロから 2 つのペアを選ぶ組み合わせは、(?C?)/2! = 3 通りです。
- それぞれのペアの目の組み合わせ: 和が 7 になる 2 つの目の組み合わせは 6 通りです。
したがって、4 つのサイコロのうち 2 つのペアがそれぞれ合計 7 になる場合は、3 × 6 × 6 = 108 通りとなります。
4. 条件を満たす場合の総数
それぞれの通り数を合計します：
900 + 360 + 108 = 1368 通り
5. 確率の計算
総事象 (1296 通り) のうち条件を満たす場合の割合を求めます：
確率 = 1368 / 1296 = 19/18
6. 答え
4 つのサイコロを振ったときに、少なくとも 2 つのサイコロの目の合計が 7 になる確率は、
19/18
となります。
注意点: この確率は 1 を超えています。これは、複数のケースが重複してカウントされているためです。例えば、「ちょうど 2 つのサイコロの目の合計が 7 になる場合」の中に、「4 つのサイコロのうち 2 つのペアがそれぞれ合計 7 になる場合」が含まれています。しかし、問題の条件は「少なくとも 2 つのサイコロの目の合計が 7 になる」ことなので、重複してカウントされたケースも有効なケースとして扱われます。そのため、確率が 1 を超えることは問題ありません。
