「ソファ問題」とは58年間未解決だった数学の問題
論文はまだ査読前ですが、解決された可能性があると発表されました。
1992年に提案された18個の曲線からなるソファの面積が最大であるという証明が提示されています。
ソファ問題なぜ未解決？最大・答えが論文で証明され解決？
「ソファ問題」とは、数学における未解決問題の一つで、幅が1のL字型の通路を通り抜けることができるソファの最大面積を求める問題です。1966年にレオ・モーザーによって提唱されました。
この問題の難しさは、ソファの形に制限がないことにあります。回転や平行移動は可能ですが、変形は許されません。そのため、どのような形のソファが最も効率的に通路を通過できるかを見つけることが課題となります。
これまで、様々な数学者によって、ソファの最大面積（ソファ定数）の下界と上界を求める研究が行われてきました。
- 下界: 特定の形のソファとその移動経路を示すことで、ソファ定数の下界が証明されます。
- 自明な下界として、半径1の半円が考えられます。これは、通路の一方の端から滑り込ませ、角で回転させ、もう一方の端から滑り出させることができます。この場合、ソファ定数はπ/2 ? 1.57となります。
- 1968年にジョン・ハマーズレイは、受話器型のソファで、より大きな下界 π/2 + 2/π ? 2.2074 を示しました。
- 1992年にはジョセフ・ガーバーが、18個の曲線で構成されたソファで、さらに大きな下界 2.21953166887… を示しました。
- 上界: ソファ定数が特定の値を超えないことを証明することで、上界が示されます。
- ハマーズレイは、ソファ定数の上界が 2√2 ? 2.8284 以下であることを示しました。
- 2018年にはヨアブ・カラスとダン・ロミックが、より厳しい上界 2.37 を証明しました。
2024年11月、延世大学のペク・ジノンは、ガーバーのソファが実際に最大面積のソファであることを証明したとする論文をarXivに投稿しました。もしこの証明が正しければ、ソファ問題はついに解決されたことになります。
しかし、この論文はまだ査読を受けていないため、証明が完全に正しいと断言するには時期尚早です。数学界では、論文が査読され、他の数学者によって検証されるまでには時間がかかります。
ソファ問題｜下界と上界
ソファ問題における下界と上界は、ソファ定数（L字型の通路を通過できるソファの最大面積）を見積もるために重要な役割を果たします。下界は、実際に通路を通過できるソファの面積を示すことで、ソファ定数が少なくともその値以上であることを保証します。一方、上界は、ソファ定数が特定の値を超えないことを数学的に証明することで、ソファ定数の範囲を絞り込みます。
下界について
ソファ問題の下界は、具体的なソファの形とその移動経路を示すことで証明されます。より大きな面積のソファとその移動経路が見つかれば、下界はより厳密なものになります。
- 半円: ソファ問題の最も単純な解の一つは、半径1の半円です。この半円は、通路の幅に合わせて縦方向に移動させ、角で回転させることで、L字型の通路を通過できます。このソファの面積は π/2 ? 1.57 であり、ソファ定数の下界となります。
- ハマーズレイのソファ: 1968年、ジョン・ハマーズレイは、受話器に似た形のソファを考案し、より大きな下界を得ました。このソファは、1 x 4/π の長方形の両側に半径1の四分円を接続し、中央から半径 2/π の半円を取り除いた形状をしています。ハマーズレイはこのソファを巧みに移動させることで、ソファ定数が π/2 + 2/π ? 2.2074 以上であることを示しました。
- ガーバーのソファ: 1992年、ジョセフ・ガーバーは、18個の滑らかな曲線で構成されたソファを考案し、ソファ定数の下界をさらに 2.2195 にまで引き上げました。このソファは、複雑な形状をしているため、移動経路も複雑になりますが、ガーバーは詳細な計算によってこのソファが通路を通過できることを証明しました。
上界について
ソファ問題の上界は、ソファ定数が特定の値を超えないことを数学的に証明することで得られます。上界は、どんなソファを考えたとしても、その面積が上界の値を超えることはできないという制約を与えます。
- ハマーズレイの上界: ハマーズレイは、ソファ定数の上界が 2√2 ? 2.8284 以下であることを示しました。これは、ソファが通路の角を通過する際に、必ずある程度の回転が必要になるという幾何学的考察に基づいています。
- カラスとロミックの上界: 2018年、ヨアブ・カラスとダン・ロミックは、計算機探索を用いた新しい手法により、ソファ定数の上界を 2.37 にまで改善しました。彼らの手法は、通路を複数の角度に回転させ、それぞれの回転角度に対してソファを移動させて、通過できる最大の面積を求めるというものです。
長年、ソファ問題の研究は、より厳密な下界と上界を求めることに焦点が当てられてきました。2024年11月、ペク・ジノンは、ガーバーのソファがソファ問題の最適解である、つまりガーバーのソファの面積がソファ定数と一致することを証明したとする論文を発表しました。この証明が正しければ、ソファ問題は解決されたことになります。しかし、この論文は査読中であり、証明の正しさが確定されるまでには、更なる検証が必要です。
まとめ：ソファ問題なぜ未解決？最大・答えが論文で証明され解決？
ソファ問題は、一見単純な問題に見えますが、その背後には深い数学的考察が隠されています。この問題に対する関心の高さは、数学パズルとしての面白さだけでなく、ロボット工学や輸送など、実世界への応用の可能性にも由来しています。
