■2025年東京理科大数学科の無限級数問題：出題ミスか？ 予備校講師が徹底解説！
受験生の皆さん、こんにちは！ 予備校講師の私が、今回話題になっている2025年東京理科大学理学部数学科の入試問題、無限級数の問題について解説していきます。
東京理科大2025入試｜数学科の無限級数問題の解答・解説！
■問題の概要：
問題は、以下の無限級数を求めるものでした。
$${\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n^2+3n-2}}$$
この問題、実は高校数学の範囲ではかなり難しいんです。 ??, ほとんど不可能と言ってもいいかもしれません。 実際、私も ?? ?? ? “えっ、これ本当に高校生が解けるの？”って思いましたからね（笑）。
なぜ難しいのか？：
この問題を解くためには、cosπxの無限乗積展開という、高校では習わない知識を使う必要があります。
$${\displaystyle \cos \pi x =\prod_{n=1}^{\infty } \left(1-\frac{x^2}{\left(n-\frac{1}{2}\right)^2}\right)}$$
この式を ??して、
$${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\left(n-\frac{1}{2}\right)^2-x^2}=\frac{\pi\tan \pi x}{2x}}$$
という公式を導き出す必要があるんです。
解答への道筋：
- 問題の級数を変形する。 $${\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n^2+3n-2}=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{\left(n+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{17}{4}}}$$
- Σの範囲を調整する。 $${\displaystyle =\sum_{n=4}^{\infty} \frac{2}{\left(n-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{17}{4}}=2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(n-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{17}{4}}-\sum_{n=1}^{3} \frac{2}{n^2-n-4}}$$
- 公式(2)で$${\displaystyle x=\frac{\sqrt{17}}{2}}$$を代入する。 $${\displaystyle =2\cdot\frac{\pi}{\sqrt{17}}\tan\frac{\sqrt{17}\pi}{2}-\left(-\frac{1}{2}-1+1\right)}$$
- 整理して答えを出す。 $${=\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{2\pi}{\sqrt{17}}\tan\frac{\sqrt{17}\pi}{2}}$$
東京理科大2025入試｜数学科の無限級数問題は出題ミス？
この問題が高校範囲外であることから、出題ミスではないかという声が上がっています。 実際、私もそう思います。
大学側もこの件については認識しており、問い合わせにも対応しているようです。
受験生への影響：
もしあなたがこの問題を ??場で 見て解けなかったとしても、心配しないでください。 おそらく、受験者全員に点が与えられる可能性があります。 重要なのは、このような難問に ???かけすぎず、他の解ける問題に集中することです。
大学側の意図：
大学の先生が問題を作る際、必ずしも高校の学習範囲を把握しているとは限りません。 また、研究に忙しい先生が問題を 考えるため、過去問を参考にしたり、外注したりすることもあるようです。 今回の問題も、もしかしたら先生がミスしてしまったのかもしれませんね。
今後の対策：
今回の件から学べることは、教科書や 問題集だけでなく、数学に触れておくことも大切だということです。 大学受験は、単なる知識の積み重ねではなく、柔軟な思考力や対応力が試される場です。 困難ににぶつかっても諦めずに、粘り強く考える力を身につけてください。
まとめ：東京理科大2025入試｜数学科の無限級数問題の解答・解説！出題ミス？
受験生の皆さん、頑張ってください！ 応援しています！
今回の解説が 役に立つならば幸いです。 もし質問があれば、いつでもコメントしてくださいね！
私も受験生のときはわからない問題にたくさん苦しめられました。 でも、それを乗り越えた経験が今の私を作っています。 だから、 自分を信じて、最後まで諦めずに頑張ってください！
この問題の原題は格子点の個数を求める問題の一部であり、ディガンマ関数やフーリエ級数を使う解法も存在します。
[問題]
座標平面内の点でx座標、y座標がすべて整数である点を格子点とよぶ。自然数nに対して、以下の条件
0＜x ≦ n/2 , 0＜y ≦ n/2 , n/2 ≦ x+y
をすべてみたす格子点(x,y)の個数をAnとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) A5,A6,A7を求めよ。ただし答のみでよい。
(2) 自然数nに対してA2n+1を求めよ。また2以上の自然数nに対してA2nを求めよ。
(3) 自然数mに対して∑[n=1?m] 1/A2n+1を求めよ。
(4) lim[m→∞] ∑[n=1?m] 1/A2nを求めよ。
(5) lim[m→∞] 1/m∑[n=m?2m] log(A4m+1/A2n+1)を求めよ。ただし対数は自然対数を表す。“`
[略解]
(1) 順に3,8,6
(2) 順に1/2n(n+1),1/2(n^2+3n-2)
(3) 2m/m+1
(4) 1/2+2π/√17tan(√17π/2)
(5) 2-2log2
\
$
