数学Aの問題
「1以上2025以下の整数のうち、正の約数の個数が奇数は何個？」
の答えおよび解法を解説しています。
1以上2025以下の整数のうち、正の約数の個数が奇数は何個？答えは…
はい、こんにちは！今日は、少し面白い数学の問題に一緒に取り組んでみましょう。
今回のテーマは「正の約数の個数が奇数になる整数」です。なんだか難しそうに聞こえるかもしれませんが、心配はいりません。一つ一つ丁寧に見ていきましょうね。
今回の問題は、「1以上2025以下の整数のうち、正の約数の個数が奇数であるものは何個あるか？」というものです。
この問題を解くための鍵となるのは、「正の約数の個数が奇数になる整数は、どんな数なのか？」という点です。実は、正の約数の個数が奇数になる整数は、「平方数（ある整数の2乗で表せる数）」であることが知られています。
解説；1以上2025以下の整数のうち、正の約数の個数が奇数は何個？
なぜそうなるのか、少し詳しく見ていきましょう。ある整数nが、素因数分解によって、n = p^a × q^b × r^c × … と表されるとします。このとき、nの正の約数の個数は、(a+1)(b+1)(c+1)…で計算できます。
この約数の個数が奇数になるためには、(a+1)、(b+1)、(c+1)…がすべて奇数でなければなりません。そのためには、a, b, c,…がすべて偶数である必要があります。
もし、a, b, c,…がすべて偶数だとすると、a = 2a’, b = 2b’, c = 2c’, …のように表すことができます。すると、n = p^(2a’) × q^(2b’) × r^(2c’) × … = (p^a’ × q^b’ × r^c’ × …)^2となり、nは平方数であることがわかります。
逆に、nが平方数であれば、n = k^2と表すことができ、kを素因数分解すると、nの約数の個数は奇数になります。つまり、「正の約数の個数が奇数である」ことと「平方数である」ことは、全く同じ意味なのです。
では、具体的に1から2025までの間で、平方数がいくつあるのかを考えてみましょう。
- 1 = 1^2
- 4 = 2^2
- 9 = 3^2
- 16 = 4^2
… - 2025 = 45^2
このように、1から45までの整数をそれぞれ2乗した数が、1から2025までの平方数になります。したがって、1以上2025以下の整数の中で、正の約数の個数が奇数であるものは、全部で45個ということになります。
どうでしょうか、少しは理解が深まりましたか？ 平方数の性質が、約数の個数と深く関わっていることが分かると、数学がもっと面白くなるかもしれませんね。もし、また疑問に思うことがあれば、いつでも聞いてください。一緒に考えていきましょう！
