数検1級で出題された分数の約分問題「10033/12877を訳文せよ」という問題について。
問題の難易度や効率的な解法、特にユークリッドの互除法や差の素因数分解を用いたアプローチを紹介しています。
$$ 「10033/12877を訳文せよ」解法・解き方を解説
「10033/12877 を約分せよ。」
いやあ、この数字を見た瞬間、ちょっと身構えちゃいました？なんだかこう、ゴツゴツとした岩の塊みたいな、簡単には崩れなさそうな雰囲気、ありますよね。
これがまた、数検1級で出題されたというから驚き桃の木山椒の木ですよ。一体どんな秘密が隠されているのか、ワクワクが止まりません！
今回はこの問題について、小学生にも分かる解き方から、ちょっと本格的なユークリッドの互除法を使った解き方、そしてこの問題が持つ奥深いポイントまで、わたくしが徹底的に解説していきたいと思います。
どうぞ最後まで、お付き合いくださいね！
まずは、算数の基礎の基礎から。「約分」って一体何でしょう？
小学生の頃に習いましたよね。分数の分母と分子を同じ数で割って、分数の大きさを変えずに、できるだけ簡単な形にすること。
例えるなら、ちょっとゴチャゴチャしたお部屋を整理整頓して、スッキリさせるようなイメージでしょうか。
たとえば、6/8 という分数があったとします。これ、分母も分子も2で割れますよね？そうすると、3/4 になります。
これが約分です。もうこれ以上、同じ数で割れない形になったら、「既約分数（きやくぶんすう）」と言います。
3と4は1以外の共通の約数を持たないので、3/4 は既約分数なんです。
じゃあ、今回の 10033/12877 はどうでしょう？パッと見た感じ、偶数じゃないし、各位の数を足しても3の倍数にはならなさそう…。
5で割るには、一の位が0か5じゃないとダメですよね。7で割ってみようかな？ちょっと時間がかかりそうだなあ。
ここで大切なのは、「約分できる」ということは、分母と分子に1より大きい共通の約数が存在する、ということです。
もし共通の約数が1しかなければ、それは最初から既約分数、つまりもうこれ以上約分できない形、ということになります。
小学生の皆さんが約分をする時、まずは2, 3, 5, 7…といった小さな素数から順番に割ってみるのが基本ですよね。
でも、今回の 10033 と 12877 、これらの小さな素数ではなかなか割り切れてくれないんです。ちょっと意地悪な数字たちですよね。
ここで、ちょっと面白い考え方をしてみましょう。にもヒントがあるんですが、分母と分子の「差」に注目してみるんです。
12877 – 10033 = 2844
この 2844 という数字、何か見覚えありませんか？…まあ、初めて見る人がほとんどでしょうね（笑）。でも、もし 10033 と 12877 がある数 d で割り切れるとしたら…
10033 = a × d
12877 = b × d
（a と b はある整数です）
そうすると、この二つの数の差である 2844 も、d で割り切れるはずなんです。
12877 – 10033 = (b × d) – (a × d) = (b – a) × d = 2844
つまり、10033 と 12877 の共通の約数 d は、二つの数の差である 2844 の約数でもある、というわけなんです！これはちょっとした発見ですよね。
さあ、それではこの 2844 を素因数分解してみましょう。素因数分解っていうのは、ある数を素数だけの掛け算で表すことでしたね。
2844 は偶数なので、まずは2で割れます。
2844 ÷ 2 = 1422
1422 も偶数なので、さらに2で割れます。
1422 ÷ 2 = 711
711 はどうかな？各位の数を足してみると、7 + 1 + 1 = 9 。9 は3の倍数なので、711 も3で割れます。
711 ÷ 3 = 237
237 も各位の数を足すと 2 + 3 + 7 = 12 。12 も3の倍数なので、237 も3で割れます。
237 ÷ 3 = 79
さて、出てきましたね、79 という数字。この 79 、実は素数なんです。つまり、これ以上小さな素数で割ることはできません。
ということで、2844 の素因数分解は、
2844 = 2 × 2 × 3 × 3 × 79 = 22 × 32 × 79
となります。
ということは、もし 10033 と 12877 に共通の約数があるとしたら、それはこの 2, 3, あるいは 79 のどれかの可能性が高い、ということになります（もちろん、これらの素数の組み合わせの可能性もあります）。
ここで、ちょっと賢い考え方をしてみましょう。
10033 は明らかに2の倍数ではないし、各位の数を足しても7にならないので3の倍数でもありません。
ということは、共通の約数があるとすれば、それは 79 である可能性が高い、と推測できるわけです。
もちろん、他の約数がないとは言い切れませんが、少なくとも 2 や 3 よりはずっと可能性が高そうです。
それでは、実際に 10033 を 79 で割ってみましょう。
10033 ÷ 79 = 127
なんと、割り切れました！127 という数字が出てきました。
同じように、12877 も 79 で割ってみましょう。
12877 ÷ 79 = 163
こちらも、きれいに割り切れました！そして、163 という数字が出てきました。
ということは、10033 と 12877 の共通の約数は 79 である、ということが分かったわけです！
したがって、
10033/12877 = (79 × 127) / (79 × 163) = 127/163
と約分できるわけです！
最後に、この 127 と 163 ですが、実はどちらも素数なんです。つまり、これ以上共通の約数を持たないので、127/163 が既約分数、つまり最終的な答えとなります。
どうでしたか？この「差」に着目する方法、少しは分かってもらえたでしょうか？
大きな数でも、こうやって工夫することで、意外な道が開けることがあるんですね。
$$ 「10033/12877を訳文せよ」ユークリッドの互除法の解法・解き方
さて、お次はちょっと本格的に、ユークリッドの互除法を使った解き方を見ていきましょう。
ユークリッドの互除法…うーん、なんだかちょっと難しそうな名前ですよね。でも、その考え方は意外とシンプルなんです。
簡単に言うと、2つの整数の最大公約数（GCD: Greatest Common Divisor）を効率的に求めるための方法なんです。
最大公約数というのは、2つの数に共通な約数の中で、一番大きな数のことですね。
例えば、12 と 18 の最大公約数は 6 です。
ユークリッドの互除法の基本的な考え方は、
2つの整数 a, b (a > b) があるとき、a と b の最大公約数は、b と (a を b で割った余り) の最大公約数と等しい
というものです。これを繰り返していくと、最終的に余りが 0 になった時の割る数が、元の2つの数の最大公約数になる、という仕組みなんです。
なんだか文章だけだと分かりにくいですよね。実際に 10033 と 12877 でやってみましょう！
- まず、大きい方の数（12877）を小さい方の数（10033）で割ります。 12877 ÷ 10033 = 1 … 2844 （余り 2844）
- 次に、割る数だった 10033 を、今出た余りの 2844 で割ります。 10033 ÷ 2844 = 3 … 1501 （余り 1501）
- さらに、割る数だった 2844 を、今出た余りの 1501 で割ります。 2844 ÷ 1501 = 1 … 1343 （余り 1343）
- これを余りが 0 になるまで繰り返します。 1501 ÷ 1343 = 1 … 158 （余り 158） 1343 ÷ 158 = 8 … 79 （余り 79） 158 ÷ 79 = 2 … 0 （余り 0）
ほら！ついに余りが 0 になりました。この時、最後に割った数、つまり 79 が、10033 と 12877 の最大公約数なんです。
どうですか？ちょっと計算は面倒くさかったかもしれませんが、理屈は意外とシンプルですよね。
最大公約数が 79 だと分かれば、あとは簡単です。分母と分子をそれぞれ 79 で割れば、約分が完了します。
10033 ÷ 79 = 127
12877 ÷ 79 = 163
ということで、やはり答えは 127/163 となります。
ユークリッドの互除法の良いところは、どんなに大きな数同士でも、地道に割り算を繰り返していけば、必ず最大公約数が見つかる、という確実性なんです。素因数分解が難しいような大きな数の場合でも、この方法なら力強く解決してくれる頼もしい味方、というわけですね。
ちなみに、にもありますが、ユークリッドの互除法がない時代は、約分するのに素数で順番に割っていくしかなくて、それはそれは大変な作業だったそうです。先人の知恵には、本当に頭が下がりますね。
「10033/12877を訳文せよ」のポイント
さて、最後に、この「10033/12877 を約分せよ。」という問題のポイントについて、わたくしなりに深く掘り下げていきましょう。
まず、この問題が数検1級で出題された、という点。これを聞くと、「え？こんな基本的な約分の問題が？」と驚く方もいるかもしれません。実際、でも「こんな簡単な問題が、まさか数検1級で出題された？」という驚きの声が上がっています。
でも、ここにこの問題の奥深さがあると思うんです。一見簡単そうに見えても、実際に手を動かしてみると、なかなか手こずる。小さな素数では割れないし、かといってすぐに大きな約数が見つかるわけでもない。ここで、漫然と素数で割り続けるのではなく、工夫することの重要性が問われているのではないでしょうか。
先ほど紹介した「差の素因数分解」というアイデアは、まさにその工夫の一つです。共通の約数は、元の2つの数の差の約数でもある、という性質を利用することで、闇雲に探すよりも効率的に候補を絞り込むことができます。もちろん、でも指摘されているように、差を素因数分解したからといって、その中に必ずしも最大公約数があるとは限りませんが、有力な手がかりにはなります。
また、ユークリッドの互除法を知っていれば、どんな場合でも確実に解ける、という安心感があります。計算の手間はかかるかもしれませんが、「どうしても答えにたどり着きたい！」という時には、まさに正攻法と言えるでしょう。
この問題を通して、私たちは
- 約分の基本的な考え方
- 共通の約数、最大公約数の重要性
- 素因数分解の活用
- ユークリッドの互除法という強力なツール
- 問題解決のための工夫の大切さ
といった、数学の фундаментальные、ロシア語で「基礎的な」という意味です。ちょっと使ってみたかったんです、はい。）な部分を再確認することができるのではないでしょうか。
さらに、にもあるように、「数値が素数×素数だからなのかもしれないですね」という考察も興味深いです。10033 = 79 × 127 、12877 = 79 × 163 と、どちらも2つの素数の積で表されています。このような数の場合、共通の約数を見つけるのが、より難しくなる傾向があるのかもしれません。
そして、で「ケアレス・ミスを誘発しそうな問題ではあります」と指摘されているように、計算の過程でうっかりミスをしてしまう可能性も十分にあります。特に、大きな数の割り算を何度も行うユークリッドの互除法では、集中力が必要とされます。
個人的な感想としては、この問題、一見地味なんですけど、色々な数学の要素が詰まっていて、解き方を考える過程がすごく面白いんですよね。「どうやってこの岩を崩してやろうか…」みたいな、ちょっとした挑戦状を叩きつけられたような気分になるんです。そして、色々なアプローチを試した結果、無事に約分できた時の達成感は、何物にも代えがたい喜びがあります。
皆さんも、もし時間があったら、この問題を色々な方法で解いてみてはいかがでしょうか？きっと、新たな発見があるはずですよ。そして、もし途中で行き詰まってしまったら、今日のわたくしの解説を思い出して、もう一度チャレンジしてみてくださいね！
数学の世界は、一見難解に見えるかもしれませんが、その奥には美しさや論理的な面白さが広がっています。これからも、皆さんと一緒に、そんな数学の魅力を探求していけたら嬉しいなと思っています。
それでは、今日の解説はここまで！また次回のブログでお会いしましょう！さようなら！
